Integral representation of the n-th derivative in de Branges-Rovnyak spaces and the norm convergence of its reproducing kernel

— In this paper, we give an integral representation for the boundary values of derivatives of functions of the de Branges–Rovnyak spaces H(b), where b is in the unit ball of H∞(C+). In particular, we generalize a result of Ahern–Clark obtained for functions of the model spaces Kb, where b is an inner function. Using hypergeometric series, we obtain a nontrivial formula of combinatorics for sums of binomial coefficients. Then we apply this formula to show the norm convergence of reproducing kernel kb ω,n of evaluation of the n-th derivative of elements of H(b) at the point ω as it tends radially to a point of the real axis. Résumé. — Dans cet article, nous donnons une formule intégrale pour la valeur au bord des dérivées des fonctions de l’espace de de Branges-Rovnyak H(b), où b est une fonction dans la boule unité de H∞(C+). En particulier, nous généralisons un résultat d’Ahern-Clark obtenu pour les fonctions de l’espace modèle Kb, où b est une fonction intérieure. En utilisant les séries hypergéométriques, nous obtenons une formule non-triviale de combinatoire concernant la somme de coefficients binômiaux. Puis, nous appliquons cette formule pour démontrer que le noyau reproduisant kb ω,n, correspondant à l’évaluation de la dérivée n-ième des fonctions de H(b) au point ω, converge en norme lorsque ω tend radialement vers un point de l’axe réel.